量子力学基础

Hilbert空间就是一个配备了内积的复线性空间，状态生活在Hilbert空间中，可以用Dirac ket表示。算符为Hilbert空间间的映射，对于线性映射能写为矩阵形式。一些特殊种类的算符包括：厄米的Hermitian($A^\dagger=A$)，幺正的unitary($A^\dagger A=AA^\dagger=I$)，正规的Normal($A^\dagger A=AA^\dagger$)，正定的Positive-definite($\langle u|A|u\rangle>0,\,\forall\, u$)。此外，通过外积可构建投影算符，正交完备基条件就表述为 $\sum_i a_i|v_i\rangle\langle v_i|=I$。 Hilbert空间可以通过张量积得到更大的Hilbert空间，对应于量子系统的复合。假设希尔伯特空间 R1 中的态矢量为 $|\alpha\rangle_1,|\beta\rangle_1$ ，希尔伯特空间R2中的态矢量为 $|\psi\rangle_2,|\phi\rangle_2$。由 R1 中的态矢量 $|\alpha\rangle_1$ 和 R2 中的态矢量 $|\psi\rangle_2$ 构成的直积态写成：

$$|\alpha\rangle_1\otimes|\psi\rangle_2$$

两个系统的算符也可以写为张量积的形式，其定义为：

$$(A\otimes B)(|v\rangle\otimes|w\rangle)\equiv A|v\rangle\otimes B|w\rangle$$

具体到矩阵表示上，有

$$A\otimes B=\begin{pmatrix} A_{11}B&A_{12}B&\cdots&A_{1n}B\\ A_{21}B&A_{22}B&\cdots&A_{2n}B\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{m1}B&A_{m2}B&\cdots&A_{mn}B \end{pmatrix}$$

如果大Hilbert空间中的一个态可以写为子Hilbert空间中的态的叠加，则称为一个直积态(Direct state)，否则称为一个纠缠态(Entangled state)。通过将几个直积态做线性组合能容易得到纠缠态。另一方面，一个纠缠态也能分解为一些直积态的线性组合。这由以下的Schmidt分解定理保证：

Schmidt分解

假设一个双复合量子系统处于纯态 $|\psi_{AB}\rangle\in\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B$，则

$$|\psi_{AB}\rangle=\sum_{n=1,\cdots,d}\lambda_n|\psi_n\rangle|\phi_n\rangle,\quad d\le \min[\mathrm{dim}(\mathcal H_A),\mathrm{dim}(\mathcal H_B)]$$

其中 $\lambda_n> 0$，$\sum_n\lambda_n^2=1$，$\{|\psi_n\rangle\}$ 为 $\mathcal H_A$ 的一组正交基，$\{|\phi_n\rangle\}$ 为 $\mathcal H_B$ 的一组正交基。

这个定理就是SVD分解的直接推论。这里的 $d$ 称为Schmidt秩。对于直积态而言，$d=1$。而若 $d=\min[\mathrm{dim}(\mathcal H_A),\mathrm{dim}(\mathcal H_B)]$，则称为最大纠缠态。纠缠的程度可以用香农熵刻画：

$$E=-\sum_{n=1}^d\lambda_n^2\log\lambda_n^2$$

量子线路

经典计算的信号由电信号控制，例如高电平代表1，低电平代表0。通过经典逻辑门对信号进行操作。一个一般的逻辑门是一个映射 $f:\{0,1\}^n\to\{0,1\}^m$。常见的门包括与门、或门、非门、异或门等等。当这个映射是一一映射时，其就是可逆的，也就是说没有信息丢失。 而量子计算的信号为量子态（qubit）（一些量子双态系统），因此可以处于0与1的叠加态中，而对态的操作由幺正的量子逻辑门实现。也就是说，量子线路就是由制备好的一堆量子态输入，经过一个幺正变换，得到输出态并测量得到结果的过程。由于幺正性，这个过程一定是可逆的。 双态系统（qubit）生活在二维Hilbert空间中，其可以用Bloch球上的矢量描述，即

$$|\psi\rangle=\cos\dfrac{\theta}{2}|0\rangle+\mathrm{e}^{i\phi}\sin\dfrac{\theta}{2}|1\rangle,\quad \rho=|\psi\rangle\langle\psi|=\begin{pmatrix} \cos^2\dfrac{\theta}{2}&\mathrm e^{-i\phi}\cos\dfrac{\theta}{2}\sin\dfrac{\theta}{2}\\ \mathrm e^{i\phi}\cos\dfrac{\theta}{2}\sin\dfrac{\theta}{2}&\sin^2\dfrac{\theta}{2} \end{pmatrix}$$

幺正变换就对应于球面上的旋转。下面将列出一些常用的量子门。

单量子比特门

三个Pauli矩阵（既是厄米又是幺正）简记为 $X,Y,Z$，其矩阵表示为（Z的本征基下）：

$$X=\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix},\quad Z=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$$

可以看到，X门将 $|0\rangle$ 与 $|1\rangle$ 反转，因此也称为bit-flip门；Z门则给 $|1\rangle$ 加一个负号，也称为phase-flip门。 Z将信号1反相，也有将其相位变换一个任意角度的相位门：

$$R_\theta=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&\mathrm{e}^{i\theta} \end{pmatrix},\quad S=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&i \end{pmatrix}=R(\pi/2),\quad T=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&\mathrm{e}^{i\pi/4} \end{pmatrix}=R(\pi/4),\quad Z=R(\pi)$$

此外，Hadamard门也是重要的，其为X本征基与Z本征基间的变换矩阵：

$$H=\dfrac 1{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}$$

其效果为：

$$H|0\rangle=|+\rangle=\dfrac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt 2},\quad H|1\rangle=|-\rangle=\dfrac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt 2}$$

还可定义绕任意轴的旋转算符。

$$R_{\hat n}(\theta)=\cos\dfrac{\theta}{2}I-i\sin\dfrac{\theta}{2}(\vec\sigma\cdot\hat n)$$

事实上，任意单比特的幺正算符都可以写为一个相位乘一个旋转（因为其就是Bloch球面的旋转）。当然，我们知道任意轴的旋转都可以由两根固定轴的旋转复合而成（欧拉角）。因此有下面的旋转分解定理： 假设 $\hat m,\hat n$ 是两个不平行的三维单位矢量，则任意单比特幺正门可以分解为：

$$U=\mathrm{e}^{i\alpha}U_{\hat n}(\beta)U_{\hat m}(\gamma)U_{\hat n}(\delta)$$

下面给出一个定理，会在后面构造控制-U门时用到。

[!theorem] 对于任意的单比特幺正门 $U$，存在单比特要正算符 $A,B,C$，满足

$$ABC=I,\quad U=\mathrm{e}^{i\alpha}AXBXC$$

证明方法是直接构造 $A,B,C$：

$$ABC=\underbrace{R_z(\beta)R_y\left(\dfrac\gamma2\right)}_{A}\underbrace{R_y\left(-\dfrac\gamma2\right)R_z\left(-\dfrac{\delta+\beta}2\right)}_{B}\underbrace{R_z\left(\dfrac{\delta-\beta}{2}\right)}_{C}=I$$

$$AXBXC=R_z(\beta)R_y\left(\dfrac\gamma2\right)R_y\left(\dfrac\gamma2\right)R_z\left(\dfrac{\delta+\beta}2\right)R_z\left(\dfrac{\delta-\beta}{2}\right)=R_z(\beta)R_y(\gamma)R_z(\delta)$$

再用旋转分解定理就得到 $U=\mathrm{e}^{i\alpha}AXBXC$。

双量子比特门

最重要的双比特门是控制非(Controlled-NOT,CNOT)门，其可以表述为：当control端的信号为1时，就翻转target端的信号，否则不改变target端的信号。如下图所示：

这里 $\oplus$ 是不进位和，即异或运算。CNOT的矩阵表示为：

$$CNOT=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}$$

CNOT门是一个纠缠门，能将直积态变为纠缠态，例如：

$$CNOT(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)\otimes |0\rangle=\alpha|00\rangle+\beta|11\rangle$$

CNOT是一个控制 $X$ 门，因为翻转qubit就是X算符的效果。一般的，可以考虑控制U门：

利用 $U=\mathrm{e}^{i\alpha}AXBXC$ 的分解，我们可以将这个控制U门等效为CNOT门与单比特门的组合：

Toffoli门

Toffoli门又称控制-控制非门，这是一个三比特门：

Toffolo门可以分解为Hadamard,T,CNOT门的组合。 此外，对于一般的 $C^n(U)$ 控制门（$n$ 个控制端，一个target端）:

$$C^n(U)|x_1\cdots x_n\rangle|\psi\rangle=|x_1\cdots x_n\rangle U^{x_1\cdots x_n}|\psi\rangle$$

其也可以通过Toffoli门与一些辅助qubits构造：

下面给出将这些常用量子门输入mathematica的代码：

Clear["Global`*"]

(*basis states*)ket0 = {1, 0};
ket1 = {0, 1};

(*X basis*)
Xket0 := (ket0 + ket1)/Sqrt[2]
Xket1 := (ket0 - ket1)/Sqrt[2]

(*gates*)
X = {{0, 1}, {1, 0}};
Y = {{0, -I}, {I, 0}};
Z = {{1, 0}, {0, -1}};
H = (1/Sqrt[2]) {{1, 1}, {1, -1}};
S = {{1, 0}, {0, I}};
T = {{1, 0}, {0, Exp[I*Pi/4]}};
Id2 = IdentityMatrix[2];
P0 = {{1, 0}, {0, 0}};
P1 = {{0, 0}, {0, 1}};

(*rotation gates*)
Rx[theta_] := MatrixExp[-I*theta/2*X];
Ry[theta_] := MatrixExp[-I*theta/2*Y];
Rz[theta_] := MatrixExp[-I*theta/2*Z];

(*two qubits*)
ket00 = KroneckerProduct[ket0, ket0];
ket01 = KroneckerProduct[ket0, ket1];
ket10 = KroneckerProduct[ket1, ket0];
ket11 = KroneckerProduct[ket1, ket1];
HI = KroneckerProduct[H, Id2];
IH = KroneckerProduct[Id2, H];
H2 = KroneckerProduct[H, H];

(*controlled gates*)
CNOT = {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 0, 1}, {0, 0, 1, 0}};
CZ = {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, -1}};

Toffoli = {{1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 
    1, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 1, 0, 0,
     0}, {0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1}, {0, 0, 0,
     0, 0, 0, 1, 0}};
CSWAP = {{1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 1,
     0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 
    0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0}, {0, 0, 0, 
    0, 0, 0, 0, 1}};

量子态传输与测量原理

接下来来看一个简单的应用，如何将一个量子态由A地传递至B地？更准确的说，在A地有一个qubit，其处于某一未知量子态 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$，如何使得B地的qubit同样处于该状态？

不可克隆原理

首先需要说明的一点是，制备B地处于 $|\psi\rangle$ 态的qubit一定会破坏掉A地的qubit状态，这是由于量子力学的不可克隆原理保证的。为说明这一点，假设存在某一线路，可以将一个（未知的）qubit的状态复制到另一qubit上且不破坏原qubit。这等价于存在一个幺正变换 $U_{copy}$，使得对于任意的 $|\psi\rangle$ 有

$$U_{copy}|\psi\rangle|a\rangle=|\psi\rangle|\psi\rangle$$

则自然要求

$$U|0\rangle|a\rangle=|0\rangle|0\rangle,\quad U|1\rangle|a\rangle=|1\rangle|1\rangle$$

此时，对于一般的 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$，线性原理给出

$$U|\psi\rangle|a\rangle=\alpha|0\rangle|0\rangle+\beta|1\rangle|1\rangle\ne|\psi\rangle|\psi\rangle$$

因此不存在满足条件的 $U_{copy}$ 。也就是说，我们不可能“复制”未知量子态，而只能“传输”量子态。

Bell态

传输量子态的过程需要用到其纠缠的性质。我们先介绍实现纠缠的Bell态。Bell基是一组由纠缠态构成的基，用Hadamard门与CNOT门就能制备它：

传输的量子线路

A地肯定不能无法通过直接测量得到 $|\psi\rangle$ 的系数 $\alpha,\beta$，因为例如测量 $Z$ 会使其坍缩至 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$。但是，我们仍能在不知道这个态的情况下对其进行传输。 我们采用下面的线路进行传输：

其中我们预先制备好一组Bell态 $\dfrac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt 2}$，将纠缠的两个qubit分别送往A地和B地。初始态写为：

$$|\psi_0\rangle=|\psi\rangle|\text{Bell}\rangle=\dfrac{1}{\sqrt 2}[\alpha|0\rangle(|00\rangle+|11\rangle)+\beta|1\rangle(|00\rangle+|11\rangle)]$$

现在，处在A地可以对 $|\psi\rangle$ 与Bell态的第一个qubit执行CNOT操作，使得其发生纠缠，此时

$$|\psi_1\rangle=\dfrac{1}{\sqrt 2}[\alpha|0\rangle(|00\rangle+|11\rangle)+\beta|1\rangle(|01\rangle+|10\rangle)]$$

接下来执行一个Hadamard门操作，有

$$\begin{align} |\psi_2\rangle&=\dfrac{1}{2}[\alpha(|0\rangle+|1\rangle)(|00\rangle+|11\rangle)+\beta(|0\rangle-|1\rangle)(|01\rangle+|10\rangle)]\\&=\dfrac12[|00\rangle(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)+|01\rangle(\alpha|1\rangle+\beta|0\rangle)+|10\rangle(\alpha|0\rangle-\beta|1\rangle)+|11\rangle(\alpha|1\rangle-\beta|0\rangle)] \end{align}$$

现在，由于 $\alpha,\beta$ 的信息被完全转移到第三个qubit上（也就是在B地的qubit上），A地可以放心对其两个qubit进行测量，这将有四种可能($00,01,10,11$)。对于这四种可能，B地的qubit会坍缩的四种不同的状态上，即：

$$00\to \alpha|0\rangle+\beta|1\rangle,\quad01\to \alpha|1\rangle+\beta|0\rangle,\quad 10\to \alpha|0\rangle-\beta|1\rangle,\quad 11\to \alpha|1\rangle-\beta|0\rangle$$

此时，A地可以将测量结果通过经典传输给B地，B地根据A的的结果对其qubit做量子门操作，例如当结果为 $10$ 时就作用一个Z算符：

$$\alpha|0\rangle-\beta|1\rangle\xrightarrow{Z}\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle=|\psi\rangle$$

一般地说，当第一个qubit为1时就执行一个Z门，当第二个qubit为1时就执行一个X门。这样，B地的qubit就成功变成了 $|\psi\rangle$ 状态。 可以发现，唯一的A，B地间的传输发生在通过经典信道传输A地的测量结果，其无法超光速，因此量子态的传输速度同样被限制在光速以内。而如果这个测量结果在传输过程中被窃取，这其实是无所谓的，因为第三个qubit一直处在B地，因此该量子态的信息不会被泄露。也就是说，这样的传输是安全的。

推迟测量原理

前面的线路通过测量部分qubits，由测量结果来决定对其余qubits的门操作。这样的经典步骤总可以完全换为量子的。有下面的推迟测量原理：

• 测量后的经典条件控制，总能由量子的Controlled-U门代替。
• 在量子线路中间某步骤的测量，总能由变换移动至量子线路的末端。 也就是说，量子传输线路可以变换为：

通过控制门后，可以将纠缠态变回直积态：

$$|\psi'\rangle=\dfrac12(|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle)(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)=Qubits_{1-2}\otimes|\psi\rangle$$

当然，这不意味着信息传播超光速。实际上，构造两地间的瞬时控制门是不可能的，两个控制门的操作时间仍受信息传递速度的限制。

等价测量原理

在一些时候，我们希望制备某一测量算符 $U$ 的本征态（先假设 $U$ 既是幺正又是厄米的，因此 $U^2=UU^\dagger=I$ ）。但是如果直接对qubit作用 $U$ 算符可能导致该qubit直接被破坏（而不是塌缩）。为避免这种事情发生，我们可以采用下面的线路：

引入一个制备在 $|0\rangle$ 态的辅助qubit。容易计算得到，上面线路的末态为：

$$\dfrac{|0\rangle}{2}(|\psi_{in}\rangle+U|\psi_{in}\rangle)+\dfrac{|1\rangle}{2}(|\psi_{in}\rangle-U|\psi_{in}\rangle)$$

此时对辅助qubit进行测量，则下面的qubits将坍缩到状态：

$$|\psi_{out}\rangle=\dfrac{|\psi_{in}\rangle\pm U|\psi_{in}\rangle}{\sqrt 2}$$

这就是算符 $U$ 的本征值 $\pm 1$ 的本征态。同时，由于我们没有直接对第二部分qubits测量，因此不会破坏它。

通用量子计算

通用量子计算是指用一组有限基础量子门集，实现Hilbert空间中任意n qubits幺正变换 $U$ 的能力。其分为两种：

• 精确通用性：例如，任意n比特幺正变换可以由单比特门与CNOT门组合而成。
• 近似通用性：实际计算中一般使用离散门集，例如 $\{H,T,CNOT\}$，其可以以任意精度 $\epsilon>0$ 逼近目标变换。

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贡献者: avephysica

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