本节正式进入微扰论的具体计算。其目标在于计算相互作用绘景下的时间演化算符 $U_I(\infty,-\infty)$。必要时参考前一篇文章：Coleman QFT - Lecture 7. 微扰论与散射理论初步。我们将从时序积的表达式出发：

$$S=U_I(\infty,-\infty)=T\exp\left(-i\int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}t\,H_I(t)\right)$$

8.1 三个相互作用模型

接下来，我们将给出三个含时微扰的具体物理模型。其将成为我们后面处理这类问题的引导例子。

示例

Model 1：Lagrangian为

$$\mathcal L=\dfrac12(\partial^\mu\phi)(\partial_\mu\phi)-\dfrac12 \mu^2\phi^2-g\rho(x)\phi(x)$$

可以看到前半部分就是自由标量场的Lagrangian，后面的一项则刻画了标量场 $\phi(x)$ 与一个时空坐标依赖的c-number场 $\rho(x)$ 的耦合或相互作用。常数 $g$ 称为耦合常数。

标量场满足的运动方程（即E-L方程）为：

$$(\,\square^2+\mu^2)\phi(x)=-g\rho(x)$$

这个方程实际上很像电动力学中势满足的d'Alembert方程：

$$\square^2 A^\mu=-eJ^\mu$$

因此我们可以将 $\rho(x)$ 理解为一种“源”。我们知道，变化的电流与电荷会激发出电磁波，或者说是量子化的光子。因此，我们预期 $\rho(x)$ 的变化同样会激发出波动的 $\phi(x)$，或者说激发出介子。

示例

Model 2：Lagrangian为

$$\mathcal L=\dfrac12(\partial^\mu\phi)(\partial_\mu\phi)-\dfrac12 \mu^2\phi^2-g\rho(\vec x)\phi(x)$$

其与Model 1的差别在于 $\rho(x)$ 变成了 $\rho(\vec x)$ ，即源 $\rho(\vec x)$ 与时间无关。这可以类比为静电磁场的情形。

示例

Model 3：Lagrangian为

$$\mathcal L=\dfrac12(\partial^\mu\phi)(\partial_\mu\phi)-\dfrac12 \mu^2\phi^2+\partial^\mu\psi^*\partial_\mu\psi-m^2\psi^*\psi-g\phi\psi^*\psi$$

这个模型中包含了两种标量场 $\phi,\psi$，其中 $\phi$ 场不带电（这里的电是指 SO(2) 内部对称性的守恒荷）而 $\psi,\psi^*$ 带电。同时最后一项描述两个场之间的耦合。可以视为两种粒子各自产生的场又互相影响造成了耦合。

$\phi$ 场的运动方程为：

$$(\square^2+\mu^2)\phi=-g\psi^*\psi$$

右侧相当于 $\phi$ 感受到的“源”。而 $\psi$ 场的运动方程为：

$$(\square^2+m^2)\psi=-g\psi\phi$$

可以看到两种场的互相影响的。这一模型实际上很像带电的核与中性的介子间耦合的Yukawa理论。 对于这三种模型，为计算 $U_I(\infty,-\infty)$，需写出其相互作用绘景下的哈密顿量。这实际就是微扰项。对Model 1，

$$\mathcal H_I^{(1)}=g\rho(x)\phi(x)$$

对 Model 2 , 3，我们要人为给它加上一个绝热“开关”$f(t)$。即

$$\mathcal H_I^{(2)}=g f(t)\rho(\vec x)\phi(x),\quad \mathcal H_I^{(3)}=g f(t)\psi^*\psi\phi$$

8.2 Wick定理

再次强调，我们的目标在于求解时序积表达式：

$$S=U_I(\infty,-\infty)=T\exp\left(-i\int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}t\,H_I(t)\right)$$

然而，按时序积排列的场是不好计算矩阵元的。好计算矩阵元的是正规序排列。比如，我们要计算一个正规序的双粒子散射矩阵元：

$$\langle p_1',p_2'|:\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots\phi(x_n):|p_1,p_2\rangle$$

由于是正规序，我们可以知道当 $n>4$ 时上面的表达式一定为零。为什么呢？每个 $\phi(x_i)$ 都含有产生算符 $a_{\vec p}^\dagger$ 与湮灭算符 $a_{\vec p}$，我们必须作用相等数量的产生-湮灭算符才能使矩阵元非零。当 $n>4$ 时，则至少要作用两个以上湮灭算符。但这会直接把双粒子态变成零。

因此，我们的任务变成了要将时序积表达式转化为正规序积。首先，我们先定义两个算符的缩并(contraction)，其直接定义为两个算符场的时序积与正规序积之差：

$$\overset {|\Large \mkern-3mu{}^{\overline{\quad\;\;\;}}\mkern-3mu\normalsize |}{A(x_1) B} (x_2)=T(A(x_1)B(x_2))\;-:A(x_1)B(x_2):$$

我先给出一个结论：

[!claim] 缩并是一个纯数(c-number)。

Proof：我们可以将场分成产生与湮灭部分：（带+角标的代表湮灭算符，带$-$角标的代表产生算符）

$$A(x)=A^+(x)+A^-(x),\quad B(x)=B^+(x)+B^-(x)$$

并且先假设 $x^0>y^0$，则

$$T(A(x)B(y))=A^+(x)B^+(y)+A^-(x)B^+(y)+A^+(x)B^-(y)+A^-(x)B^-(y)$$

而正规序要求+在后，因此上式中只有第三项不是正规序的，因此此时有：

$$T(A(x)B(y))=\,:A(x)B(y):+[A^+(x),B^-(y)]$$

显然，此对易子是一个纯数。或者更具体地说：

$$[A^+(x),B^-(y)]=\begin{cases} \Delta_+(x-y),\quad A=B\\ 0,\quad A\ne B \end{cases}$$

这里 $\Delta_+(x-y)$ 是在第三章Coleman QFT - Lecture 3. 构建标量量子场中定义的，具体来说

$$\Delta _+(x-y)\equiv\int\dfrac{\mathrm{d}^3\vec p}{(2\pi)^{3}(2\omega_{\vec p})}\mathrm{e}^{-ip\cdot (x-y)}$$

对 $x^0<y^0$ 的讨论是类似的，实际上只需交换上面的 $x,y$ 即可。我们可以将其统一写为：

$$\overset {|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\quad\;\,}}\mkern-3mu\normalsize |}{A(x) A} (y)=\theta(x^0-y^0)\Delta_+(x-y)+\theta(y^0-x^0)\Delta_+(y-x)$$

不论怎么样，它都是一个数而不是算符场。

另一避免使用阶跃函数的方法我们实际上已经在Coleman QFT - Problem 1中的第三题遇到过了。我们可以将 $\overset {|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\quad\;\,}}\mkern-3mu\normalsize |}{\phi(x) \phi} (y)$ 夹在真空态之间（记住这是一个数，因此不论在哪个归一化态的平均值都等于这个数），但是正规序积作用在真空态上一定是零，因此：

$$\overset {|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\quad\;\,}}\mkern-3mu\normalsize |}{\phi(x) \phi} (y)=\langle0|T(\phi(x)\phi(y))|0\rangle+\langle0|:\phi(x)\phi(y):|0\rangle=\langle0|T(\phi(x)\phi(y))|0\rangle$$

在Problem 1的第三题中，我们证明了此表达式为：

$$\overset {|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\quad\;\,}}\mkern-3mu\normalsize |}{\phi(x) \phi} (y)=\langle 0|T(\phi(x)\phi(y))|0\rangle=\lim_{\epsilon\to0^+}\int\dfrac{\mathrm{d}^4p}{(2\pi)^4}\mathrm{e}^{-ip\cdot(x-y)}\dfrac{i}{p^2-\mu^2+i\epsilon}$$

也就是说，对 $p^0$ 的积分自然会产生一个阶跃函数。后面将沿用这一表达式。 上面是对实标量场的缩并，对复标量场而言，你可以直接用其定义式计算（定义参考Coleman QFT - Lecture 6. 对称性与守恒律 II：内部对称性）：

$$\psi=\dfrac{1}{\sqrt 2}(\phi^1+i\phi^2),\quad \psi^*=\dfrac{1}{\sqrt 2}(\phi^1-i\phi^2)$$

则

$$\overset {|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\quad\;\,}}\mkern-3mu\normalsize |}{\psi^*(x) \psi} (y)=\overset {|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\quad\;\,}}\mkern-3mu\normalsize |}{\psi(x) \psi^*} (y)=\lim_{\epsilon\to0^+}\int\dfrac{\mathrm{d}^4p}{(2\pi)^4}\mathrm{e}^{-ip\cdot(x-y)}\dfrac{i}{p^2-\mu^2+i\epsilon}$$

而其他的缩并均为零：

$$\overset {|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\quad\;\,}}\mkern-3mu\normalsize |}{\psi^*(x) \psi^*} (y)=\overset {|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\quad\;\,}}\mkern-3mu\normalsize |}{\psi(x) \psi} (y)=0$$

最后说明两点：

• 我们可以将不相邻的两个场进行缩并，比如下式代表：

$$:A(x)\overset {|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\quad\quad\quad }}\mkern-3mu\normalsize |}{B(y) C(z) D}(w):\,\equiv\;:A(x)C(z):\overset {|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\quad\;\,}}\mkern-3mu\normalsize |}{B(y)D} (w)$$

• 为了简短，我们引入下面的记号：

$$\phi^{a_1}(x_1)\phi^{a_2}(x_2)\cdots\phi^{a_n}(x_n)=\phi_1\phi_2\cdots\phi_n$$

现在我们给出Wick定理：

[!theorem] Wick Theorem：

$$\begin{align}T(\phi_1\cdots\phi_n)=&:\phi_1\phi_2\cdots\phi_n:\\+&:\overset {|\Large \mkern-1mu{}^{\overline{\;\;\,}}\mkern-2mu\normalsize |}{\phi_1\phi_2}\phi_3\cdots\phi_n:(\text{其他所有有一个缩并的项})\\\\+&:\overset {|\Large \mkern-1mu{}^{\overline{\;\;\,}}\mkern-2mu\normalsize |}{\phi_1\phi_2}\overset {|\Large \mkern-1mu{}^{\overline{\;\;\,}}\mkern-2mu\normalsize |}{\phi_3\phi_4}+\cdots\phi_n:+(\text{其他所有有两个缩并的项})\\\\+&\cdots+(\text{其他所有有$\tfrac{n}{2}$或$\tfrac{n-1}{2}$个缩并的项})\end{align}$$

可以看到，等号右侧全是一些纯数与正规序积的乘积，因此Wick定理给出了从难算矩阵元的时序积形式到好计算矩阵元的正规序积形式的变换公式。下面来证明Wick定理：

Proof：我们采用数学归纳法来证明：先设 $W(\phi_1\phi_2\cdots \phi_n)$ 代表定理等号右侧的表达式。$n=1$ 时，上面公式给出 $T(\phi_1)=W(\phi_1)=\phi_1$ 是平凡的。来看 $n=2$ 情形，其代表

$$T(\phi_1\phi_2)=W(\phi_1\phi_2)=\;:\phi_1\phi_2:+:\overset {|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\;\;\,}}\mkern-2mu\normalsize |}{\phi_1\phi_2}:=\;:\phi_1\phi_2:+\,\overset {|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\;\;\;}}\mkern-2mu\normalsize |}{\phi_1\phi_2}$$

这正是缩并的定义式。 不失一般性的，我们可以重新排列场，使得 $x_1^0\geq x_2^0\geq\cdots\geq x_n^0$。（等号左右均与一开始的排列顺序无关）。根据归纳假设，有

$$T(\phi_2\cdots\phi_n)=W(\phi_2\cdots\phi_n)$$

在其左侧作用场 $\phi_1$：

$$T(\phi_1\phi_2\cdots\phi_n)=\phi_1 T(\phi_2\cdots\phi_n)=\phi_1 W(\phi_2\cdots\phi_n)$$

将 $\phi_1$ 拆分为产生与湮灭部分：

$$\mathrm{RHS}=(\phi_1^++\phi_1^-) W(\phi_2\cdots\phi_n)=\phi_1^+ W(\phi_2\cdots\phi_n)+W(\phi_2\cdots\phi_n)\phi_1^-+[\phi_1^+, W(\phi_2\cdots\phi_n)]$$

前两项 $\phi_1$ 的存在不会破坏正规序，因此其包含 $:\phi_1\phi_2\cdots\phi_n:$ 中所有不涉及 $\phi_1$ 的缩并的正规序积。而最后一项由于 $\phi_1^+$ 与任何缩并的纯数都对易，因此其包含了所有涉及 $\phi_1$ 缩并的正规序积（注意 $x_1^0$ 是最大的，因此 $[\phi^+_1,\phi_i]=[\phi^+_1,\phi_i^-]=\overset {|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\;\;\;}}\mkern-2mu\normalsize |}{\phi_1\phi_i}$）。两者合起来包含了 $:\phi_1\phi_2\cdots\phi_n:$ 所有的缩并，因此其就等于 $W(\phi_1\phi_2\cdots\phi_n)$。因此

$$T(\phi_1\phi_2\cdots\phi_n)=W(\phi_1\phi_2\cdots\phi_n)$$

即用归纳法证明了Wick定理。

Wick定理指出，时序积表达式 $T(\phi_1\phi_2\cdots\phi_n)$ 等于正规序积表达式 $:\phi_1\cdots\phi_n:$ 中考虑所有可能的缩并的表达式之和。其另一种表述方式为：

$$T(\phi_1\phi_2\cdots\phi_n)=\;:\exp\left(\dfrac12\sum_{i,j=1}^n\;\,\overset {|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\;\;\;}}\mkern-2mu\normalsize |}{\phi_i\phi_j}\dfrac{\partial}{\partial \phi_i}\dfrac{\partial}{\partial \phi_j}\right)\phi_1\phi_2\cdots\phi_n:$$

指数的展开式中每一项就代表了一种缩并方式。

8.3 Wick图与Wick展开

现在回到时间演化算符一开始的表达式：

$$S=U_I(\infty,-\infty)=T\exp\left(-i\int \mathrm{d}^4x\,\mathcal H_I(t)\right)$$

我们先拿Model 3举例：

$$\mathcal H_I^{(3)}=gf(t)\psi^*\psi\phi$$

因此上面的指数可以按 $g$ 的幂次进行展开。来看 $g^2$ 项：

$$O(g^2):\quad \dfrac{(-ig)^2}{2!}\int\mathrm{d}^4x_1\mathrm{d}^4 x_2\,f(t_1)f(t_2)\,T(\psi_1^*\psi_1\phi_1\psi_2^*\psi_2\phi_2)$$

由Wick定理，后面的时序积等于所有缩并的正规序积之和。接下来，我画出一个图来代表没有缩并的正规序 $:\psi_1^*\psi_1\phi_1\psi_2^*\psi_2\phi_2:$

这个图包含了两个所谓的基本顶角。每个顶角均由一根不带箭头的 $\phi$ 线与两根带箭头的 $\psi,\psi^*$ 线连接到同一顶点构成。其中向外的的箭头代表 $\psi^*$ 线，而向内箭头代表 $\psi$ 线。实际上，对于 $g^n$ 阶展开式，其无缩并的正规序积由 $n$ 个不相连的基本顶角表示。 那么，如何表示缩并呢？只需将缩并的两个场对应的线相连即可。比如 $\phi$ 场缩并的正规序积 $:\psi_1^*\psi_1\overset{|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\quad\quad}}\mkern-2mu\normalsize |}{\phi_1 \psi_2^*\psi_2\phi_2}:$ 由下面的图表示：

其包含的场算符为 $:\psi_1^*\psi_1\psi^*_2\psi_2:$ ，这代表核子（与反核子）的弹性散射。注意 $\psi$ 含有核子的湮灭算符与反核子的产生算符，而 $\psi^*$ 则相反，因此其对以下的过程有贡献（矩阵元非零）：

$$N+N\to N+N,\quad \bar N+N\to\bar N+N,\quad \bar N+\bar N\to\bar N+\bar N$$

但是其对于电荷不守恒的过程矩阵元为零，如 $N+N\to\bar N+\bar N$。这是因为 $\psi^*$ 总增加一个电荷，而 $\psi$ 总减少一个电荷。因此 $:\psi_1^*\psi_1\psi^*_2\psi_2:$ 贡献的过程一定满足电荷守恒。 实际上还有一些过程的矩阵元也非零，比如下面的过程：

$$\text{vacuum}\to N+N+\bar N+\bar N$$

其满足电荷守恒，矩阵元非零。但是其对散射矩阵没有贡献，这是因为其不满足能动量守恒。$S$ 的表达式中还要对 $\mathrm{d}^4x$ 积分，而 $\psi,\psi^*$ 的平面波展开式含有 $\mathrm{e}^{\pm ip\cdot x}$，因此会产生一个 $\delta$ 函数 $\delta(p_i-p_f)$，其保证所有过程均必须满足能动量守恒。

当然，缩并方式不止这一种。我们还能将 $\psi$ 与 $\psi^*$ 缩并。比如下面的项：

$$\dfrac{(-ig)^2}{2!}\int\mathrm{d}^4x_1\mathrm{d}^4 x_2\,f(t_1)f(t_2)\,:\overset{|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\quad\quad\quad}}\mkern-2mu\normalsize |}{\psi_1^* \psi_1\phi_1\psi^*_2\psi_2}\phi_2:$$

其可以用下面的图表示：

此时剩下的场算符为 $:\psi_1\phi_1\psi^*_2\phi_2:$ ，其对以下的过程有贡献：

$$N+\phi\to N+\phi,\quad \bar N+\phi\to \bar N+\phi,\quad N+\bar N\to \phi+\phi$$

诸如 $N\to\phi+\phi+N$ 的过程同样由于能动量守恒被禁止。

上面画出的图称为Wick图。我们知道，缩并在此情境下只允许上面的两种方式。因此，我们只能在图上将无箭头的 $\phi$ 线相连，或者将同向箭头的 $\psi,\psi^*$ 线相连。可以发现，Wick展开式中的项与“合法的”Wick图是一一对应的。因此，如果要求解Dyson级数中的某一特定阶的项（比如 $g^n$ 阶项），我们只需画出所有含 $n$ 个顶点的“合法的”Wick图，并将其对应的Wick展开式相加即可。我们还可以对更复杂的缩并画出对应的Wick图，比如：

其对应的Wick展开式实际上是一个纯数。

8.4 Wick图的连通性

当我求的阶数越来越高时，画出所有可能的Wick图也是困难的。因此这一节来介绍一个技巧。首先，注意到上面的图我们都小心的标注了顶点的序号，也就是说我们区分了下面的表达式：

$$:\overset{|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\quad\quad\quad}}\mkern-2mu\normalsize |}{\psi_1^* \psi_1\phi_1\psi^*_2\psi_2}\phi_2:\quad\text{and}\quad :\psi_1^* \overset{|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\quad\;\;}}\mkern-2mu\normalsize |}{\psi_1\phi_1\psi^*_2}\psi_2\phi_2:$$

这两者确实在Wick展开式中是不同的项。因此下面两幅图都有贡献，是不同的图：

然而，我们最后的积分关于 $x_1$ 与 $x_2$ 是对称的，因此上面两项对总散射振幅有相同的贡献。更一般的，对于任意的Wick图，如果我们只是交换序号，其贡献显然不变。为此，我们希望去掉这种冗余度，将顶点上的标记“擦掉”。为此，我们先定义如下的量： 对于一个Wick图 $D$，定义与其关联的算符 $O(D)$ 为对应的Wick展开式，但要去掉前面系数分母上的阶乘。如上面的图8.3对应的算符为：

$$O(D)={(-ig)^2}\int\mathrm{d}^4x_1\mathrm{d}^4 x_2\,f(t_1)f(t_2)\,:\psi_1^*\psi_1\overset{|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\quad\quad\,}}\mkern-2mu\normalsize |}{\phi_1 \psi_2^*\psi_2\phi_2}:$$

同时定义 $n(D)$ 为 $D$ 中的顶点个数。因此，Wick展开式即为：

$$\text{图 $D$ 对应的 Wick 展开式}=\dfrac{O(D)}{n(D)!}$$

现在，我们要将顶点擦掉，也就是同时考虑 $n(D)!$ 个具有相同结构的Wick图。然而，这些Wick图中可能存在相同的图。比如看下面的两幅图：

其只是相当于对整个图做了一个旋转，因此对应于Wick展开式中相同的图，我们不能重复计算。现在记对于图 $D$，其存在 $S(D)$ 种置换顶点标记可以得到相同的Wick图。故与图 $D$ 有相同结构的不同的图共有 $\dfrac{n(D)!}{S(D)}$ 个。因此，这一组与图 $D$ 有相同结构的图的总贡献为：

$$\text{与图 $D$ 有相同结构的图的总贡献}=\dfrac{O(D)}{n(D)!}\cdot\dfrac{n(D)!}{S(D)}=\dfrac{O(D)}{S(D)}$$

接下来介绍连通性的概念。这是很好理解的，一个图是连通的是指任意两个点均被线条直接或间接连在一起。比如图8.2就是不连通的，而现在展示的其他的图都是连通的。 任意一个不连通的图都可以分解成几个连通的部分，如下图是一个可被分为三个连通部分的不连通图：

接下来，我先直接陈述一个奇妙的定理：

[!theorem] 所有Wick图（对应的Wick展开式）之和等于所有连通的Wick图（对应的Wick展开式）之和的正规序的指数函数。即

$$\sum \text{all Wick diagram}=\;:\exp\left(\sum\text{all connected Wick diagram}\right):$$

下面我们来证明这个定理。为此，先引入一些符号。记所有连通图为 $D^{(c)}_r,\;r=1,2,3,\cdots$ ，一个一般的Wick图 $D$ 一定可以分解为 $D^{(c)}_r$ 的组合，设其中有 $n_r$ 个连通图 $D_r^{(c)}$ ，其中 $n_r$ 显然为非负整数。比如图8.13中有两个左侧类型的连通图，一个右侧类型的连通图。由于不同的连通图之间不会通过缩并耦合，因此图 $D$ 的算符 $O(D)$ 可表示为：

$$O(D)=\;:\prod_{r=1}^\infty\left[O(D^{(c)}_r)\right]^{n_r}:$$

那 $S(D)$ 又是什么呢？显然，如果我们做在一个连通图内做保持其不变的置换，显然也会保持全图不变。但如果置换了两个连通图中的部分点，其不可能与原图相同。但这是有特例的，如果我们直接交换两个相同连通图中的所有点，显然全图是不变的。这会额外产生一个 $\prod_r n_r!$ 的因子。因此，保持全图不变的置换总数为：

$$S(D)=\prod_{r=1}^\infty n_r!\left[S(D_r^{(c)})\right]^{n_r}$$

因此，与 $D$ 有相同结构的图的贡献可以表示为：

$$\dfrac{O(D)}{S(D)}=\,:\prod_{r=1}^\infty \dfrac{1}{n_r!}\left[\dfrac{O(D_r^{(c)})}{S(D_r^{(c)})}\right]^{n_r}:$$

我们知道，散射矩阵即对所有的Wick图求和。这实际上等价于对每一个 $n_r$ 均独立的从 $0$ 求和至 $\infty$。（注意我们已经去掉了顶点标记），因此

$$\begin{align} &\sum\text{all Wick diagram}=\sum_{n_1=1}^\infty\sum_{n_2=1}^\infty\cdots:\prod_{r=1}^\infty \dfrac{1}{n_r!}\left[\dfrac{O(D_r^{(c)})}{S(D_r^{(c)})}\right]^{n_r}:\,\\&=\,:\prod_{r=1}^\infty\exp\left(\dfrac{O(D_r^{(c)})}{S(D_r^{(c)})}\right):\;=\;:\exp\left(\sum\text{all connected Wick diagram}\right): \end{align}$$

即证明了定理。 有了这个定理，我们就不用去考虑所有的Wick图了，只需考虑那些连通的Wick图就可以了。其将在下面我们对Model 1的计算中发挥很大的作用。

8.5 Model 1的精确求解

现在我们来尝试求解Model 1，其相互作用绘景下的哈密顿量为：

$$\mathcal H_I=g\rho(x)\phi(x)$$

其中只含一个 $\phi$ 场。因此其基本顶角仅含一根不带箭头的 $\phi$ 线。我们可以尝试画一画其连通的Wick图。事实上，其只有两个连通图：

因为连接两个顶点只有右图所示的一种方式，且其已经没有外线用来连接其他图。这两幅图分别记为 $D_1,D_2$，其对应算符为：

$$O_1=-ig\int\mathrm{d}^4x_1\,\rho(x_1)\phi(x_1),\quad O_2=(-ig)^2\int\mathrm{d}^4x_1\mathrm{d}^4x_2\,\overset {|\Large \mkern-2mu{}^{\overline{\quad\;\,}}\mkern-3mu\normalsize |}{\phi(x_1) \phi} (x_2)\rho(x_1)\rho(x_2)$$

$O_2$实际上是一个纯数，我们将其记为 $-\alpha+i\beta$。 两个图实际上都只有一种模式，换句话说，$S(D_1)=1,S(D_2)=2$。至此，我们已经可以计算散射矩阵：

$$S=U_I(\infty,-\infty)=\,:\exp\left(\dfrac{O_1}{1!}+\dfrac{O_2}{2!}\right):\;=\mathrm{e}^{\frac12(-\alpha+i\beta)}:\exp(O_1):$$

我们先来计算 $:\exp(O_1):$ ，利用 $\phi(x)$ 的平面波展开式：

$$\phi(x)=\int\dfrac{\mathrm{d}^3\vec p}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{\vec p}}}(\,a_{\vec p}\,\mathrm{e}^{-ip\cdot x}+a^\dagger_{\vec p}\,\mathrm{e}^{ip\cdot x}\,)$$

先定义源的傅里叶变换：

$$\tilde\rho(p)\equiv\int\mathrm{d}^4x\,\mathrm{e}^{ip\cdot x}\rho(x)$$

则

O_1=-ig\int\mathrm{d}^4x\,\rho(x)\phi(x)=-ig\int\dfrac{\mathrm{d}^3\vec p}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{\vec p}}}\left[a_\vec p\,\tilde\rho(\vec p,\omega_{\vec p})^*+a_{\vec p}^\dagger\,\tilde\rho(\vec p,\omega_{\vec p})\right]

这里需要注意的是，我们只需要在质壳上的傅里叶变换 $\tilde\rho(\vec p,\omega_{\vec p})$ 即可。 为简单起见，我们定义：

$$h(\vec p)\equiv\dfrac{-ig\,\tilde\rho(\vec p,\omega_{\vec p})}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{\vec p}}},\quad O_1=\int\mathrm{d}^3\vec p\,\left[-h(\vec p)^*a_{\vec p}+h(\vec p)a_{\vec p}^\dagger\right]$$

先考虑最简单的情形，即初始态为真空态的情形。设 $A\equiv\mathrm{e}^{\frac12(-\alpha+i\beta)}$，则

$$S\,|vac\rangle=A:\exp(O_1):|vac\rangle=A\exp\left[\int\mathrm{d}^3\vec p\,h(\vec p)a_{\vec p}^\dagger\right]|vac\rangle$$

其显然含有各种粒子数的态。假设 $\psi^{(n)}(\vec p_1,\cdots,\vec p_n)=\langle\vec p_1,\cdots,\vec p_n|S|vac\rangle$，则

$$|\psi\rangle=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!}\int\mathrm{d}^3\vec p_1\cdots\mathrm{d}^3\vec p_n\,\psi^{(n)}(\vec p_1,\cdots,\vec p_n)|\vec p_1,\cdots,\vec p_n\rangle$$

直接将上面的式子展开得到：

$$\psi^{(0)}=A,\quad \psi^{(1)}(\vec p)=Ah(\vec p),\quad \psi^{(2)}(\vec p_1,\vec p_2)=Ah(\vec p_1)h(\vec p_2),\quad\cdots$$

最后的态为 $n$ 粒子态的概率为：

$$P(n)=\dfrac{1}{n!}\int\mathrm{d}^3\vec p_1\cdots\mathrm{d}^3\vec p_n\,|\psi^{(n)}(\vec p_1,\cdots,\vec p_n)|^2=\dfrac{|A|^2}{n!}\left[\int\mathrm{d}^3\vec p\,|h(\vec p)|^2\right]^n$$

我们要求总概率的归一化：

$$\sum_{n=0}^\infty P(n)=|A|^2\exp\left(\int\mathrm{d}^3\vec p\,|h(\vec p)|^2\right)=1$$

因此我们得到：

$$|A|^2=\exp\left(-\int\mathrm{d}^3\vec p\,|h(\vec p)|^2\right)\Rightarrow\alpha=\int\mathrm{d}^3\vec p\,|h(\vec p)|^2$$

$P(n)$ 服从Poisson过程：

$$P(n)=\mathrm{e}^{-\alpha}\,\dfrac{\alpha^n}{n!},\quad \langle n\rangle=\alpha$$

这样我们就完成了Model 1的求解。（实际上我们还没有求解 $\beta$ ，但其效果只是一个相位，我们先不管它。）这个模型的求解说明了当我们考虑一个变化的源 $\rho(x)$ 时，其可以凭空从真空态中激发出介子，且光子的数量服从泊松分布。从上面的过程中，可能看不出为何要强调时变化的源，这将在下一章中Model 2的求解中进行讨论。

事实上，熟悉QM中谐振子的相干态的人，能看出上面的介子态正是一个相干态(coherence state)。其为真空态作用产生算符的指数映射的结果：

$$|\lambda\rangle\equiv\mathrm{e}^{\lambda a^\dagger}|0\rangle$$

这个态是湮灭算符的本征函数：

$$a|\lambda\rangle=a\mathrm{e}^{\lambda a^\dagger}|0\rangle=[a,\mathrm{e}^{\lambda a^\dagger}]|0\rangle=\lambda|\lambda\rangle$$

上面得到的

$$|\lambda\rangle=\;:\mathrm{e}^{O_1}:\;=\;:\exp\left[\lambda\int\mathrm{d}^3\vec p\,h(\vec p)a_{\vec p}^\dagger\right]:|0\rangle$$

其为 $\phi^+$ 的本征函数，具体来说：

$$\phi^+|\lambda\rangle=\lambda_\phi|\lambda\rangle,\quad\lambda_\phi=\lambda\int\dfrac{\mathrm{d}^3\vec p}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{\vec p}}}\mathrm{e}^{-ip\cdot x}\,h(\vec p)$$

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贡献者: avephysica

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