Coleman QFT Problem 8

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在Coleman QFT - Lecture 14. LSZ约化公式中，我们得到了一个很强的结论：只要我们选取的局域场满足真空态与单粒子态间的归一化关系，则其就会给出相同的散射 $S$ 矩阵。下面用一个简单的例子来验证这一点。

疑问

考虑一个自由标量场理论：

\mathcal L=\dfrac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\dfrac12\mu^2\phi^2

现在我们定义另一个新的场 $A$ ：

\phi=A+\dfrac12 gA^2

则用 $A$ 表示的Lagrangian为：

\mathcal L=\dfrac12(\partial_\mu A)^2(1+gA)^2-\dfrac12\mu^2\left(A+\dfrac12 gA^2\right)^2

由于 $A$ 的二次项对真空态-单粒子态矩阵元无贡献，因此我们期望新的理论同样不会有任何散射振幅（因为原先的理论根本没有相互作用）。请对于双介子弹性散射验证这一点，只需到 $g$ 的非零最低阶即可（即 $g^2$ 阶）。

我们将新的Lagrangian分为自由与相互作用两部分：

\mathcal L=\dfrac12(\partial_\mu A)^2-\dfrac 12\mu^2A^2+\mathcal L_I

其中

\mathcal L_I=(\partial_\mu A)^2(gA+\dfrac12g^2A^2)-\dfrac12\mu^2(gA^3+\dfrac14 g^2A^4)

相互作用是包含导数的，但我们可以采取在Coleman QFT - Lecture 14. LSZ约化公式中得到的有效方法。简单认为 $\mathcal H_I=-\mathcal L_I$ ，并且做替换 $\partial_\mu\to ip_\mu$ 。我们将相互作用项分为两类。首先，对于项 $g(A\partial_\mu A\partial^\mu A-\frac12 \mu^2A^3)$ ，其基本顶点为：

表达式即：

ig(k_1^2+k_2^2+k_3^2-3\mu^2)

当然，动量守恒要求 $k_1+k_2+k_3=0$ 。其到 $O(g^2)$ 的双介子弹性散射图为：

表达式为：

i\mathcal A_{12,34}=ig[k_1^2+k_2^2+(k_1+k_2)^2-3\mu^2]\dfrac{i}{(k_1+k_2)^2-\mu^2}ig[k_3^2+k_4^2+(k_1+k_2)^2-3\mu^2]

注意我们算的不是Green函数，而是外线在质壳上的Feynman图，即 $k_i^2=\mu^2$ 。代入后得到：

k_i^2=\mu^2:\quad i\mathcal A_{12,34}=-ig^2((k_1+k_2)^2-\mu^2)

这样的图实际上有三个，中间的传播线的动量为 $k_1+k_2,k_1+k_3,k_1+k_4$ ，因此总的Feynman振幅为：

\begin{align} i\mathcal A_{12,34}+i\mathcal A_{13,24}+i\mathcal A_{14,23}&=-ig^2((k_1+k_2)^2+(k_1+k_3)^2+(k_1+k_4)^2-3\mu^2)\\&=-ig^2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2-3\mu^2)=-ig^2\mu^2 \end{align}

其次，对于项 $g^2(\frac12 A^2\partial_\mu A\partial^\mu A-\frac18\mu^2A^4)$ ，其基本顶点为：

表达式为：

ig^2[k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2-3\mu^2]=ig^2\mu^2

其本身就是 $O(g^2)$ 阶的双介子弹性散射图，因此Feynman振幅即上面的表达式。故总的散射振幅为：

\mathcal A_{\text{tot}}=-ig^2\mu^2+ig^2\mu^2=0

因此我们验证了散射振幅为零的结论。